Kenalan dengan Matematika, yuk!

08 Jul 2018
Share on Facebook
Share on Twitter


Hampir semua orang mengatakan bahwa matematika itu hanya berkaitan dengan perhitungan, dan 1+1 itu harus sama dengan 2. Sayangnya anggapan ini keliru dan sudah menjadi tugas para ahli matematika memberikan edukasi kepada masyarakat perihal matematika yang sebenarnya. Matematika mempunyai susunan yang sangat mirip dengan Agama, Bahasa, atau “saudaranya” Filsafat. Yang mempelajari Matematika biasanya berfikiran terbuka, toleran, dan bijaksana.

Matematika dipandang sebagai sebuah sistem logika, di dalamnya ada kosakata dan prinsip-prinsip kebenaran. Bisa dilihat bahwa semua mata pelajaran terdiri atas kosakata dan prinsip-prinsip kebenaran relatif terhadap mata pelajaran itu. Dengan demikian mempelajari matematika sama dengan mempelajari mata pelajaran yang lain yaitu mempelajari kosakata dan prinsip-prinsip kebenaran yang berlaku, kemudian menjalankan nalar logis menggunakan kosakata itu berdasar prinsip-prinsip kebenaran itu.

Kosakata di matematika terdiri atas definisi dan kata-kata yang tidak didefinisikan. Salah satu contoh kata yang tidak didefinisikan adalah titik (point). Meskipun tidak didefinisikan, kata titik dideskripsikan sehingga bisa dipahami dengan baik. Konsep titik merupakan konsep mendasar dalam matematika. Titik adalah sebuah konsep abstrak yang karenanya tidak bisa dilihat oleh mata, titik merupakan objek berdimensi nol sehingga titik merupakan objek terkecil yang tidak bisa dibagi-bagi lagi, dan titik adalah yang kita tunjuk sehingga titik menentukan tempat. Meskipun objek titik ini abstrak, tapi titik bisa disimbolkan dengan “.” yang disebut dengan “dot” dan bisa diberi nama. Dengan deskripsi titik ini, kita bisa mendapatkan sebuah pernyataan yang benar:

“Terdapat tak hingga banyak titik di sekitar kita.”

Hal ini dikarenakan bahwa kita bisa menunjukkan jari telunjuk kita kepada tempat-tempat yang dikehendaki, di sekitar kita.

Kosakata jenis kedua selain kata yang tidak didefinisikan adalah definisi. Di dalam matematika banyak sekali definisi. Definisi ini bisa menggunakan kata-kata yang tidak didefinisikan maupun menggunakan definisi lain. Pemahaman mengenai definisi merupakan syarat perlu guna menguasai matematika. Contoh kata yang didefinisikan adalah lingkaran.

“Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Jarak ini disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu ini disebut pusat lingkaran.”

Dari definisi lingkaran di atas didapat konsekuensi bahwa:

1.       Lingkaran adalah benda abstrak, karena titik-titik pada lingkaran itu abstrak.

2.       Dua buah lingkaran dikatakan sama jika mempunya jari-jari dan pusat yang sama.

Lagi-lagi meskipun abstrak, lingkaran bisa disimbolkan oleh gambar yang selama ini kita kenal sebagai lingkaran dan juga bisa diberi nama.

Adapun prinsip-prinsip kebenaran dalam matematika terdiri atas postulat, aksioma, dan teorema. Ketiga prinsip ini merupakan dasar-dasar pijakan para pembelajar matematika dalam bernalar atau dalam berargumen yang valid.

Postulat merupakan pernyataan kebenaran umum (common truth). “Keseluruhan lebih besar daripada bagiannya.”, “Jumlah dari dua persamaan adalah persamaan.”, “dua segitiga dengan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama adalah kongruen.” merupakan tiga contoh dari postulat.

Adapun aksioma bisa dipandang sebagai aturan main sebuah sistem matematika. Aksioma merupakan konsep yang sangat mendasar dan wajib dipahami pembelajar matematika dalam mempelajari sebuah sistem matematika tertentu. Karena merupakan konsep yang mendasari sebuah sistem matematika, aksioma dijamin kebenarannya pada sistem matematika itu - tidak memerlukan pembuktian. Sebelum diperkenalkan aksioma, pada sebuah sistem matematika diperkenalkan terlebih dahulu operasi. Sebagai contoh operasi dan aksioma ini, mari kita pandang sebuah sistem di matematika: Sistem Aljabar Boolean.

Sistem Aljabar Boolean terdiri atas sebuah himpunan B, operasi penjumlahan, operasi perkalian, dan operasi komplemen, serta didasari oleh 7 aksioma, yaitu:

1.       Hasil penjumlahan dan hasil perkalian dari dua unsur pada B adalah unsur yang terdapat pada B

2.       B paling sedikit memuat dua unsur a dan b dimana a tidak sama dengan b

3.       Berlaku sifat komutatif untuk penjumlahan dan perkalian

4.       Berlaku sifat asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian

5.       B memiliki unsur identitas penjumlahan dan perkalian. Unsur identitas penjumlahan disimbolkan dengan 0, sedangkan unsur identitas perkalian disimbolkan dengan 1. Dengan kata lain bahwa untuk semua unsur a di B berlaku a+0=a dan a*1=a.

6.       Berlaku sifat distributif penjumlahan atas perkalian dan sifat distributif perkalian atas penjumlahan

7.       Setiap unsur a di B memiliki bilangan komplemen a´ atas penjumlahan maupun perkalian, yaitu bahwa a+a´=1 dan a*a´=0

Sebagai contoh dari sistem aljabar Boolean, pandang sebuah himpunan B={0,1} dengan penjumlahan dua bilangan pada B merupakan nilai maksimum dari kedua bilangan, perkalian dua bilangan pada B merupakan nilai minimum dari kedua bilangan itu, dan komplemen dari sebuah bilangan pada B adalah 1 dikurangi bilangan itu. Secara ringkas untuk bilangan a, b di B:

Penjumlahan:            a+b=max(a,b)

Perkalian:                    a*b=min(a,b)

Komplemen:              a´=1-a

 

Maka himpunan B dengan operasi penjumlahan, perkalian, dan komplemen seperti di atas membentuk sebuah sistem aljabar Boolean karena memenuhi ketujuh aksioma aljabar Boolean di atas. Pada sistem aljabar Boolean ini, 1+1=1 karena max(1,1)=1. Pada sistem aljabar ini 1+1=2 adalah salah karena max(1,1) tidak sama dengan 2. Alasan lain bahwa  1+1=2 salah adalah bahwa 2 tidak terdapat di B.

Prinsip kebenaran ketiga dalam matematika adalah teorema. Dalam pembahasan sebuah konsep matematika, teorema bisa bernama lema jika lingkupnya kecil dan merupakan dasar pijakan menuju teorema yang lebih besar, dan bisa bernama akibat (corollary) jika merupakan konsekuensi logis secara langsung dari sebuah teorema tertentu. Berbeda halnya dengan postulat dan aksioma, kebenaran dari teorema harus dibuktikan. Pada sistem aljabar Boolean, contoh teoremanya adalah sebagai berikut:

“Untuk semua unsur x pada sistem alajabar Boolean berlaku x+x=x.”

Bukti:

           x   =x+0                      aksioma 5, bahwa a+0=a

=x+(x*x´)            aksioma 7, bahwa a*a´=0

=(x+x)*(x+x´)    aksioma 6 distributif penjumlahan terhadap perkalian

=(x+x)*1              aksioma 7, bahwa a+a´=1

=x+x                      aksioma 5, bahwa a*1=a

Jadi x+x=x.

 

Akibat dari teorema di atas adalah

1+1=1

Bukti:

Karena 1 adalah sebuah unsur pada aljabar Boolean, maka dengan menggunakan teorema di atas didapat secara langsung bahwa 1+1=1.

Perlu ditekankan di sini bahwa 1+1=1 ini adalah jika kita bekerja pada sistem aljabar Boolean. Di sistem matematika lain 1+1 bisa benilai yang lainnya. Pada sistem jam 2-an (jam dengan angka jam 0 dan 1) 1+1=0 yang bermakna bahwa satu jam kemudian dari jam 1 adalah jam 0, pada sistem biner 1+1=10, dan pada sistem bilangan riil 1+1=2 sebagaimana yang kita pahami selama ini. Dari sini bisa dilihat bahwa kebenaran yang dipelajari bersifat relatif, yaitu relatif terhadap sistem matematika yang digunakan. Dampak moralnya adalah bahwa para pembelajar matematika  menghargai kebenaran yang dianut orang lain, dan tidak memaksakan orang lain kepada kebenaran yang diyakininya.

Demikian sekilas mengenai matematika sebagai sistem logika, sebagai seni bernalar, sebuah ilmu berargumen yang valid, dan mengandung pesan moral. Semoga kita memiliki paradigma yang benar mengenai matematika sehingga masing-masing kita tidak lagi mendapati batas dalam mempelajari matematika – semua orang bisa mempelajari matematika.


Ditulis oleh Rahmat Sagara, M.Si. – Ketua Program Studi Matematika Kalbis Institute

Artikel Lain view all stories